Rekenvaardigheid oefenen

De getallenlijn is een handig hulpmiddel om eenvoudige berekeningen zoals optellen en aftrekken inzichtelijk te maken. De bedoeling is dat je de beginwaarde aangeeft op de getallenlijn en vervolgens de andere waarde met stapjes erbij optelt of ervan aftrekt.

De getallenlijn wordt hier behandeld omdat deze veel weg heeft van een eenvoudige cijferreeks. Daarnaast biedt deze methode voor veel mensen een handig hulpmiddel om te werken met negatieve getallen.

De getallenlijn is een lijn waar getallen boven of onder staan. In dit geval is ervoor gekozen de getallen onder de lijn te plaatsen. Aan de linkerkant staan de laagste waarden en deze lopen op naar rechts toe. De getallenlijn ziet er als volgt uit voor -6 tot 6:

Hieronder behandelen we vier gevallen:

1. Positief getal + positief getal
2. Positief getal – positief getal
3. Negatief getal + positief getal
4. Negatief getal – postief getal

Positief getal + positief getal

Stel dat je 0 + 3 wilt berekenen, dan geef je op de lijn eerst 0 aan. Vervolgens tel je hier drie stappen bij op:

Zoals je ziet, en waarschijnlijk al verwachtte, wordt 0 + 3 gelijk aan 3.

Positief getal – positief getal

Stel dat je 6 – 4 wilt berekenen, dan geef je op de getallenlijn eerst 6 aan. Vervolgens trek je hier vier stappen vanaf:

Negatief getal + positief getal

Het wordt ingewikkelder als er met negatieve getallen wordt gewerkt. Ondanks dat de principes hetzelfde blijven worden hier veel slordigheidsfouten in gemaakt. Met de getallenlijn daarentegen worden de principes snel inzichtelijk.

Stel dat je -3 + 4 wilt berekenen, dan geef je eerst -3 aan. Vervolgens tel je hier vier stappen bij op:

Zo zie je dus dat een negatief getal plus een positief getal minder negatief wordt of zelfs positief.

Negatief getal – postief getal

De situatie die de meeste verwarring oplevert is een negatief getal minus een positief getal. Stel dat je -1 – 3 wilt berekenen, dan geef je eerst -1 aan. Vervolgens trek je hier drie stappen vanaf:

Je ziet dat een negatief getal minus een positief getal negatiever wordt. Het kan dus ook zo zijn dat een positief getal minus een positief getal negatief wordt:

In het vorige deel is de getallenlijn behandeld. Met de getallenlijn is het makkelijk rekenen en worden eenvoudige vraagstukken inzichtelijk.

In dit hoofdstuk wordt het optellen en aftrekken van gehele getallen behandeld, dus niet decimalen en of breuken. Vervolgens worden tips gegeven om sneller te leren optellen en aftrekken.

Hieronder vind je de regels voor het optellen en aftrekken:

a+b=c
a-b=c
a+(-b)=a-b=c
a-(-b)=a+b=c
(-a)+b=c
(-a)-(-b)=c
(-a)+(-b)=(-a)-b=c
(-a)-(-b)=(-a)+b=c

Snel optellen

Snel kunnen optellen is een handige eigenschap voor het dagelijks leven. Daarnaast is het handig om snel te kunnen rekenen op assessments. Veel assessments hebben een krappe tijdslimiet. Daarom is het van wezenlijk belang goed en snel te kunnen optellen.

Rechts naar links

Voor optellen zijn er meerdere methodes. De meest aangeleerde methode is de volgende: je telt van rechts naar links op. Wat wordt daarmee bedoeld? Neem het volgende voorbeeld:

24 + 48 = ?

De meesten zullen eerst de eenheden optellen: 4 + 8 = 12. Dus de eenheden worden 2 en je moet 1 tiental onthouden. Vervolgens tel je de tientallen bij elkaar op, 2 + 4 + 1 = 7. De tientallen en eenheden samen vormen 72.

Bij kleinere getallen, van 0 tot 99, is dit een eenvoudige manier. Dikwijls zul je het antwoord al kennen op basis van de vroeger aangeleerde tafels. Deze methode wordt echter lastiger wanneer het grote getallen betreft.

Links naar rechts

Daarvoor is er een makkelijkere en snellere methode: van links naar rechts optellen. Dat werkt als volgt:

34 + 36

Je begint met de tientallen, dus 3 + 3. Dit is 6, spreek  uit als 6 0 (ZES NUL). Vervolgens tel je de eenheden op, 4 + 6 = 10. Spreek de 10 uit als 1 0 (EEN NUL). Tot slot tel je beiden bij elkaar op, dus 7 0 (ZEVEN NUL). Het antwoord is dus 70. Hoewel het voor kleine getallen omslachtig lijkt, werkt dit voor grote getallen erg goed:

345 + 456

Honderdtallen: DRIE NUL NUL + VIER NUL NUL = ZEVEN NUL NUL.

Tientallen: VIER NUL + VIJF NUL = NEGEN NUL.

Eenheden: VIJF + ZES = ELF = EEN EEN.

ZEVEN NEGEN+EEN EEN = ACHT NUL EEN.

Het antwoord is dus 801.

Nog een voorbeeld met een duizendtal:

1234 + 5678

Duizendtallen: EEN NUL NUL NUL + VIJF NUL NUL NUL = ZES NUL NUL NUL.

Honderdtallen: TWEE NUL NUL + ZES NUL NUL = ACHT NUL NUL.

Tientallen: DRIE NUL + ZEVEN NUL = EEN NUL NUL.

Eenheden: VIER + ACHT = EEN TWEE.

Alles bij elkaar geeft ZES NEGEN EEN TWEE, 6912. Het antwoord is dus 6912.

In het geval dat je meerdere getallen moet optellen, drie of vier bijvoorbeeld, doe je hetzelfde als hierboven. Alleen tel je dan telkens meer getallen bij elkaar op. Bijvoorbeeld:

123 + 456 + 654

Honderdtallen: EEN NUL NUL + VIER NUL NUL + ZES NUL NUL = EEN EEN NUL NUL .

Tientallen: TWEE NUL + VIJF NUL + VIJF NUL = EEN TWEE NUL.

Eenheden: DRIE + ZES + VIER = EEN DRIE.

Alles bij elkaar geeft, EEN TWEE DRIE DRIE, 1233. Het antwoord is dus 1233.

Nog een voorbeeld met vier getallen:

145 + 235 + 365 + 254

Honderdtallen: EEN NUL NUL + TWEE NUL NUL + DRIE NUL NUL + TWEE NUL NUL = ACHT NUL NUL.

Tientalen: VIER NUL + DRIE NUL + ZES NUL + VIJF NUL = EEN ACHT NUL.

Eenheden: VIJF + VIJF + VIJF + VIER = EEN NEGEN.

Alles bij elkaar geeft, NEGEN NEGEN NEGEN, 999. Het antwoord is dus 999

Oefenopgaven

1. Bereken:

2. Bereken:

3. Bereken:

Snel aftrekken

Voor aftrekken gelden dezelfde regels als voor het optellen. Ook nu ga je dus van links naar rechts werken. Eerst een eenvoudig voorbeeld:

88 – 53

Je begint met de tientallen, dus 8 – 5 = 3, spreek uit als DRIE NUL. Vervolgens bereken je de eenheden, dus 8 – 3 = 5, spreek uit als VIJF. Het antwoord is dus DRIE VIJF, dus 35.

Nu een iets lastiger voorbeeld:

55 – 36

Je begint met de tientallen, dus 5 – 3 = 2, spreek uit als TWEE NUL. Vervolgens bereken je de eenheden, dus 5 – 6 = 9, spreek uit als NEGEN. Er is één tiental minder, dus het antwoord is EEN NEGEN, dus 19.

Ook bij aftrekken geldt dat het voor kleine getallen, van 0 tot 99, omslachtig kan zijn. Vaak kun je deze berekeningen eenvoudiger uitvoeren op de manier die je gewend bent. Deze methode wordt vooral handig wanneer het honderd- en duizendtallen betret.

Een voorbeeld met honderdtallen:

123 – 101

Honderdtallen: EEN NUL  NUL – EEN NUL NUL = NUL. Het honderdtal kun je dus weglaten.

Tientallen: TWEE NUL  – NUL NUL = TWEE NUL.

Eenheden: DRIE – EEN = TWEE.

Misschien tegen de verwachting in, moet je nu alle waarden optellen. Dat geeft, TWEE TWEE. Het antwoord is dus 22.

Nog een voorbeeld met een duizendtal:

6483 – 3512

Duizendtallen: ZES NUL NUL NUL – DRIE NUL NUL NUL = DRIE NUL NUL NUL.

Honderdtallen: VIER NUL NUL – VIJF NUL NUL = NEGEN NUL NUL. Je moet er nu één onthouden die er bij de duizendtallen afgaat!

Tientallen: ACHT NUL – EEN NUL = ZEVEN NUL.

Eenheden: DRIE – TWEE = EEN.

Wederom tel je alle losse termen op, denk eraan dat je nog wel de uitkomst met één duizendtal moet verminderen. Alles bij elkaar geeft, TWEE NEGEN ZEVEN EEN. Het antwoord is dus 2971.

Oefenopgaven

4. Bereken:

5. Bereken:

Vermenigvuldigen en delen zijn twee berekeningen die je veelvuldig zult tegenkomen op assessments. Het is niet alleen belangrijk om met grote getallen (uit je hoofd) te kunnen vermenigvuldigen en delen. Het is ook belangrijk om het snel te kunnen vanwege de tijdslimiet tijdens assessments.

In dit hoofdstuk wordt het vermenigvuldigen en delen behandeld. Vervolgens worden tips gegeven om sneller te leren vermenigvuldigen en delen.

Hieronder vind je de regels voor vermenigvuldigen en delen:

a×b=ab
(-a)×b=-ab
a×(-b)=-ab
(-a)×(-b)=-ab
N.B: bij vermenigvuldigen maakt de volgorde niet uit, dus:
a×b=b×a=ab=ba
a÷b=c
(-a)÷b=-c
a÷(-b)=-c
(-a)÷(-b)=c

Snel vermenigvuldigen

Bij vermenigvuldigen gaat het meer om het juist toepassen van trucs dan vaardiger worden in het hoofdrekenen.

Hieronder worden de verschillende trucs behandeld. Je zult dus zelf per som moeten vaststellen welke truc het best geschikt is. Het kiezen uit de juiste truc is een kwestie van veel oefenen.

Splitsen

De eerste en meest bekende methode om grote vermenigvuldigingen uit te rekenen is door de getallen te splitsen. Neem het volgende voorbeeld:

23 x 26

Je voert de volgende berekeningen uit:

20 x 20 = A

20 x 6 = B

3 x 20 = C

3 x 6 = D

Antwoord = A+B+C+D

Dus,

20 x 20 = 400

20 x 6 = 120

3 x 20 = 60

3 x 6 = 18

Antwoord = 400 + 120 + 60 + 18 = 598

Ongeacht de grootte van het getal kun je deze berekeningen zo uitvoeren. Een moeilijker voorbeeld:

345 x 45

Je voert de volgende berekeningen uit:

300 x 40 = A

300 x 5 = B

40 x 40 = C

40 x 5 = D

5 x 40 = E

5 x 5 = F

Antwoord = A+B+C+D+E+F = 15.525 (controleer zelf het antwoord).

Je kunt bovenstaande makkelijker maken door de getallen in een tabel te zetten met de gesplitste getallen op de assen:

Het voordeel is dat je op deze manier geen getallen kunt vergeten. Daarnaast staan de getallen die je moet optellen in een handige kolom onder elkaar. Het optellen van de verschillende getallen doe je natuurlijk weer met de methode zoals je deze hebt geleerd bij snel optellen.

Tot slot nog een voorbeeld met twee honderdtallen:

215 x 365

Je voert de volgende berekeningen uit:

Oefenopgaven

6. Bereken:

Vermenigvuldigen met 5 en veelvouden van 5

Het vermenigvuldigen met 5 is eenvoudiger dan het lijkt. Je vermenigvuldigt simpelweg met 10 en deelt vervolgens door 2. Neem het volgende voorbeeld:

23 x 5

Dus, 23 x 10 = 230, 230 / 2 = 115.

Nu met een moeilijker voorbeeld:

384 x 5

Dus, 384 x 10 = 3840, 3840 / 2 = 1920.

Hetzelfde geldt voor veelvouden van 5. Vaak kun je dan een getal vinden waarmee het makkelijker vermenigvuldigen is. Neem bijvoorbeeld 25:

23 x 25

Dan kan het makkelijker zijn om eerst met 100 te vermenigvuldigen en daarna door 4 te delen. Uiteraard is dit niet altijd het geval.

Dus, 23 x 100 = 2300, 2300 / 4 = 575.

Oefenopgaven

7. Bereken:

Vermenigvuldigen met getallen die eindigen op 9

Het vermenigvuldigen van getallen die eindigen op een 9 is erg eenvoudig. Hierbij vermenigvuldig je met een hoger tiental, hondertal of wat er net “boven” ligt. Vervolgens trek je 1 x de oorspronkelijke waarde van de uitkomst af. Neem het volgende voorbeeld:

14 x 9

Dus, 14 x 10 = 140, 140 – 14 = 126.

Een moeilijker voorbeeld:

13 x 99

Dus, 13 x 100 = 1300, 1300 – 13 = 1287.

Je ziet dat berekeningen op deze manier een stuk eenvoudiger worden. Het is natuurlijk niet nodig om altijd precies naar 10 of 100 af te ronden. Je kunt ook naar 20 of 60 afronden, net wat het makkelijker maakt. Het aftrekken van de ene term doe je natuurlijk weer met de snelle methode.

Oefenopgaven

8. Bereken:

Afronden naar boven / onder

Verwant aan de truc voor getallen die op een 9 eindigen, is het afronden. Net als dat je de 9 afrondt naar een tiental kun je andere getallen afronden. Op basis van de eerdere regels kun je dus het beste toewerken naar een 10 of een 5. Dat kun je bereiken door zowel naar boven als onder af te ronden. Afhankelijk van wat je hebt gedaan, naar boven of beneden afronden, moet je de termen aftrekken of optellen.

Neem bijvoorbeeld:

213 x 18

Dus, 213 x 20 = 4260, 4260 – (2 x 213 =) 426 = 3834.

Nu een voorbeeld waarbij het makkelijker is om naar beneden af te ronden:

225 x 12

Dus, 225 x 10 = 2250, 2250 + (2 x 225 =) 450 = 2700.

Het afronden heeft dus ook veel overeenkomsten met het splitsen.

Vermenigvuldigen met 2 en machten van 2

Vermenigvuldigen met 2 is vrij eenvoudig. Het vermenigvuldigen met machten van 2 is hierdoor ook relatief eenvoudig. Ter info, enkele uitkomsten van machten van 2 zijn:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 126, 256, 512, 1024

In plaats van dat je met een getal uit de reeks hierboven vermenigvuldigt, vermenigvuldig je simpelweg het juiste aantal keer met 2. Dus voor 8 doe je dat drie keer, want:

Hieronder de volledige lijst met machten voor de hierboven genoemde getallen:

2¹=2 2⁶=64
2²=4 2⁷=128
2³=8 2⁸=256
2⁴=16 2⁹=512
2⁵=32 2¹⁰=1024

Als je dus met 8 wilt vermenigvuldigen kun je, naast de methode van het afronden, ook het volgende doen:

34 x 8

Dus, 34 x 2 x 2 x 2 = 68 x 2 x 2 = 136 x 2 = 272.

Oefenopgaven

9. Bereken:

Halveren en verdubbelen

Een andere truc die vaak werkt is de getallen te halveren en verdubbelen. Hierbij vergroot en verklein je de twee termen net zolang tot er een combinatie verschijnt die makkelijker rekent. Neem het volgende voorbeeld:

32 x 82

Dat wordt hetzelfde als:

16 x 164

8 x 328

4 x 656

2 x 1312

1 x 2624

Dus het antwoord is 2624.

In bovenstaand voorbeeld zijn beide getallen even. Het maakt daarom niet uit welk getal je halveert en welk getal je verdubbelt. Het kan ook zo zijn dat je een oneven en even getal in de som hebt. Let erop dat je het even getal halveert en het oneven getal verdubbelt.

Nog een voorbeeld met een oneven en even getal:

12 x 33

6 x 66

3 x 132

Het antwoord is 396.

Oefenopgaven

10. Bereken:

Snel Delen

Delen is van de vier basis berekeningen de lastigste om snel uit je hoofd te doen. Hieronder vind je enkele technieken om het delen makkelijker te maken.

Delen en rest

Op assessments gaat het erom dat je de berekeningen niet alleen juist uitvoert maar ook snel. Daarnaast krijg je vaak een aantal keuzemogelijkheden. Daarom is het vaak voldoende om het antwoord te benaderen. Om snel een indicatie van het antwoord te vinden kun je gebruikmaken van rest:

52÷5
50÷5=10 en rest 2

In plaats van het antwoord precies uit te rekenen, reken je enkel het gedeelte uit dat je snel kunt vinden. In dit geval 50 ÷ 5 en laat je de rest 2 staan. Je kunt deze rest ook herschrijven naar een breuk, dan krijg je:

52÷5=10 2/5

Meer over rekenen met breuken lees je in breuken.

Oefenopgaven

11. Schrijf het antwoord op als getal en rest.

Vereenvoudigen

De eerste en makkelijkste manier is om de getallen te vereenvoudigen. Hierbij kun je soms halveren:

200÷4
100÷2
50÷1=50

Als je niet kunt halveren, kun je vaak op een andere manier vereenvoudigen. Bijvoorbeeld door 10, 100 of 1000 te delen:

210÷30
21÷3=7

Mocht het niet met halveren of tien kunnen, kun je een gemeenschappelijke deler zoeken:

93÷27
31÷9

Bovenstaande getallen, 93 en 27, kunnen beide door 3 worden gedeeld. Hierdoor vereenvoudig je de som naar 31 ÷ 9. Dit kun je weer oplossen met de en rest methode:

31÷9
27÷9=3 en rest 4

Oefenopgaven

12. Gebruik vereenvoudigen om te berekenen, schrijf waar nodig en rest op:

Delen door 5

Als je moet delen door 5 kun je ook het volgende doen:

×2÷10

Met een voorbeeld:

43÷5
43×2=86
86÷10=8,6

Oefenopgaven

13. Geef het antwoord, schrijf waar nodig en rest op:

Splitsen

Splitsen kan op twee manieren, namelijk door het getal waardoor gedeeld wordt te splitsen. Of door de deler te splitsen. Hieronder worden beide methodes behandeld.

Getal splitsen:

54÷3
54=30+24
30÷3=10 en 24÷3=8
10+8=18

Deler splitsen:

324÷6
324÷(2×3)
324÷3=108
108÷2=54

Oefenopgaven

14. Gebruik splitsen om te berekenen:

Hoewel machten niet vaak expliciet getoetst worden op assessments is het begrip ervan belangrijk. Het verhoogt het begrip van de rekenstof en maakt berekeningen eenvoudiger. Daarnaast worden machten in enkele situaties gebruikt. Waaronder in exponentiële functies en in cijferreeksen.

Een voorbeeld van een eenvoudige cijferreeks met machten vind je hieronder:

In bovenstaand voorbeeld zie je dat de machten telkens met 1 afnemen. Omdat de eerste vier getallen als macht getoond worden weet je dat je daarop moet letten. De laatste term moet dus zijn:

4^-1=1/4=0,25

Het antwoord kan dus één van beide getallen hierboven zijn. Daarom is het dus belangrijk de machten goed te kunnen herkennen.

De machten worden voornamelijk getoetst in cijferreeksen zoals hierboven. Daarnaast moet je in sommige assessments op het onderdeel tabellen met machten werken. Beide onderdelen hebben een tijdslimiet. Het is daarom belangrijk dat je niet alleen de regels goed kent maar ook snel kunt toepassen.

Rekenregels voor machten

Hieronder vind je de rekenregels voor machten.

a⁰=1
a¹=a
a²=a×a
a³=a×a×a
a^b × a ^c=a^(b+c)
a^b ÷ a^c=a^(b-c)
(a^b)^c=a^(b×c)
a^(-1)=1÷a
a^(-b)=1÷a^b

 Machten van 2 snel uitrekenen

Bovenstaande regels dien je goed te kennen en herkennen. Daarnaast is het belangrijk snel te rekenen met machten.

Wanneer er machten uitgerekend moeten worden, zijn dat meestal machten van 2. Om deze machten snel uit te rekenen kun je gebruikmaken van twee verschillende methoden. Hieronder vind je beide methoden.

Methode 1:

Voor het geval waarin je een tiental kwadrateert kun je gebruikmaken van de volgende methode:

12²

10 x 10 = 100

2 x 10 x 2 = 40

2 x 2 = 4

Dus het antwoord is 144.

Kort gezegd neem je van zowel het tiental als de eenheid het kwadraat. Vervolgens tel je nog twee keer het product van het tiental en de eenheid daarbij op.

Nog een voorbeeld:

45²

40 x 40 = 1600

2 x 40 x 5 = 400

5 x 5 = 25

Dus het antwoord is 2025.

Als formule:

a² wordt:
a×a
b×b
2×a×b

Hierbij is a een tiental en b een eenheid. Gemakshalve is hierbij de nul van het tiental (a) weggelaten. De vermenigvuldigingen kun je weer berekenen met de methode zoals eerder behandeld. Optellen van de verschillende termen doe je ook met de hiervoor behandelde methode.

Methode 2:

Een andere methode om machten van twee snel uit te rekenen is de volgende:

12²

12 x 12, herschrijf naar

10 x 14 = 140

2 x 2 = 4

Dus het antwoord is 144.

Bij deze methode neem je de eenheid van het ene getal, die tel je op bij het andere getal. Vervolgens vermenigvuldig je deze met elkaar en tel je er de som van het kwadraat van de oorspronkelijke eenheid bij op.

Nog een voorbeeld:

26²

20 x 32 = 640

6 x 6 = 36

Dus het antwoord is 676.

Bij de oefenopgaven hieronder kun je zowel methode 1 als 2 gebruiken. Probeer beide en kijk welke het beste voor jou werkt.

Oefenopgaven

15. Bereken

Wortels zijn eigenlijk een macht, om precies te zijn een gebroken macht. Namelijk:

A^1⁄2=²√A¹= √A, meestal worden de 2 en 1 weggelaten bij de (tweedemachts) wortel.

Wortels worden niet heel vaak getoetst op assessments maar kunnen wel in cijferreeksen voorkomen als gebroken macht.

Rekenregels voor wortels

Hieronder vind je de rekenregels voor wortels.

A^(a⁄b)=^b√A^a
√A × √B = √(A × B)
√A ÷ √B = √(A ÷ B)
√A + √B ≠ √(A + B)
√A – √B ≠ √(A – B)

Daarbij geldt nog dat je geen wortel mag trekken van een negatief getal.

Oefenopgaven

16. Schrijf als zo klein mogelijke wortelfunctie op:

Het gemiddelde berekenen komt regelmatig voor in assessments, bijvoorbeeld in rekenen met tabellen:

Het gemiddelde bereken je door de som van alle waarden door het aantal waarnemingen te delen:

x_gemiddeld = ∑x / n

Waarbij:

x = de waarneming
n = het aantal waarnemingen

Als je deze formule toepast op bovenstaand voorbeeld:

6,46=(4,6+4,5+5,6+6,9+6,8+8,1+6,9+6,8+7,9)/9

Oefenopgaven

17. Bereken de gemiddeldes voor de jaren en eenheden:

Breuken zijn een manier om delingen op te schrijven, vaak omdat dit exacter is dan een decimaal. Daarnaast worden breuken veel gebruikt in assessments. Een breuk bestaat uit een teller en een noemer:

teller/noemer

Rekenregels voor breuken

Voor breuken zijn verschillende rekenregels. Omdat de uitleg makkelijker is met deze rekenregels in je achterhoofd zie je deze hieronder.

a/b + a/b = 2a/b
3a/b – a/b = 2a/b
Let op, bij optellen en aftrekken moet de noemer hetzelfde zijn!
a × b/c = (a×b)/c
a/b × c/d = (a×c)/(b×d)
a ÷ b/c =a × c/b= (a×c)/b
a/b ÷ c/d= a/b × d/c= (a×d)/(b×c)
a/b ÷c= a/b ÷ c/1= a/b × 1/c= a/(b×c)

Breuken vereenvoudigen

In principe dien je breuken altijd zo ver mogelijk te vereenvoudigen. De uitzondering hierop zijn sommige cijferreeksen waarin gebruikgemaakt wordt van breuken:

Je ziet dat de laatste drie breuken in ieder geval niet vereenvoudigd zijn. Soms worden de breuken daarentegen ook weer wel vereenvoudigd waardoor het niet meteen duidelijk is dat de reeks uit breuken bestaat. Het is daarom goed om breuken te kunnen vereenvoudigen en te herkennen wanneer dit is gedaan.

Vereenvoudigen kan op twee manieren:

1. De teller is groter dan de noemer. Je telt het aantal keren dat de noemer in de teller past.
2. De teller en noemer kunnen beiden door hetzelfde getal gedeeld worden.

De teller is groter dan de noemer:

9/8=1 1/8

In de bovenstaande situatie past de noemer (8) één keer in de teller (9). Vervolgens blijft er één over.

De teller en noemer kunnen beiden door hetzelfde getal gedeeld worden:

4/8= 1/2

In bovenstaande situatie kunnen 4 en 8 beiden door 4 gedeeld worden. Een makkelijke tussenstap is om telkens de teller en noemer door twee te delen totdat dit niet meer kan.

Het is natuurlijk ook mogelijk dat een getal aan beide voorwaarden voldoet:

4/2= 2/1=2

Oefenopgaven

18. Vereenvoudig de onderstaande breuken naar de kleinste breuk of geheel getal:

Breuken optellen en aftrekken

Om breuken te kunnen optellen en aftrekken dienen de noemers hetzelfde te zijn. In deze paragraaf beperken we ons dan ook tot deze situatie. Als je breuken met een gelijke noemer wilt optellen tel je simpelweg de tellers bij elkaar op. De noemer blijft hetzelfde:

a/b+ a/b = 2a/b

Met voorbeeld:

1/4+2/4= 3/4

Hetzelfde geldt voor aftrekken:

3a/b – a/b= 2a/b

Met voorbeeld:

7/8-2/8= 5/8

Oefenopgaven

19. Bereken en vereenvoudig waar nodig:

Breuken vermenigvuldigen

Breuken vermenigvuldigen is vrij eenvoudig. Hierbij vermenigvuldig je de tellers met elkaar en de noemers met elkaar:

a/b × c/d = (a×c)/(b×d)

Stel dat er één getal en één breuk is, krijg je het volgende:

a × b/c = (a×b)/c

Om het jezelf makkelijk te maken is het belangrijk dat je eerst altijd vereenvoudigt. Dan vermijd je dat je met grote getallen hoeft te rekenen. Hou er daarnaast rekening mee dat een aantal breuken eenvoudige berekeningen zijn:

× 1/2= ÷2
× 1/3= ÷3
× 1/4= ÷4

Oefenopgaven

20. Bereken en vereenvoudig waar nodig:

Gelijke noemers vinden

Een voorwaarde voor het optellen van breuken is dat de noemers gelijk zijn. Gelijke noemers vinden is daarom belangrijk. Als je een gelijke noemer wilt vinden vergelijk je de twee noemers en bedenk je welk getal door beide gedeeld kan worden.

Bijvoorbeeld:

2/3 en 1/2

Het eerste getal wat door zowel 3 als 2 gedeeld kan worden is 6. Dus de noemer moet 6 worden. In plaats van dat je nu vereenvoudigt, werk je terug. Dus:

2/3 wordt 4/6 en 1/2 wordt 3/6

Hoewel deze methode bij de meeste (kleine) breuken werkt, is het makkelijk om hiervoor de algemene regel te gebruiken:

a/b en c/d worden (a×d)/(b×d) en (c×b)/(d×b)

Bovenstaande kun je ook toepassen als je breuken met ongelijke noemers wilt optellen of aftrekken:

a/b+ c/d= (a×d)/(b×d)+ (c×b)/(d×b)= (a×d+c×b)/(b×d)

Hoewel bovenstaande misschien ingewikkeld lijkt is het vrij eenvoudig. Bijvoorbeeld:

1/3+ 3/4= 4/12+ 9/12= 13/12=1 1/12

Oefenopgaven

21. Bereken en vereenvoudig waar nodig:

Breuken delen

De algemene regel is “delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”. Dus:

a ÷ b/c =a × c/b= (a×c)/b

Met voorbeeld:

4 ÷ 2/3=4 × 3/2= (4×3)/2= 12/2=6

Dit geldt ook voor een breuk met een breuk:

4⁄(2/3)=6

Hetzelfde geldt voor twee breuken:

a/b ÷ c/d= a/b × d/c= (a×d)/(b×c)

Met voorbeeld:

4/8 ÷ 2/6= 4/8 × 6/2= (4×6)/(8×2)= 24/16=1 8/16=1 1/2

Bovenstaande kun je ook direct vertalen naar een “breuk met twee breuken”:

(4/8)⁄(2/6)=1 1/2

Een op het eerste oog lastige kwestie is een breuk delen door een getal. Je kunt hierbij bedenken dat het getal eigenlijk ook een breuk is met een noemer van 1:

a/b ÷c= a/b ÷ c/1= a/b × 1/c= a/(b×c)

Met voorbeeld:

2/3 ÷4= 2/3 ÷ 4/1= 2/3 × 1/4= 2/(3×4)= 2/12= 1/6

Oefenopgaven

22. Bereken en vereenvoudig waar nodig:

Decimalen, of kommagetallen, zijn getallen waarbij er cijfers achter de komma staan.

Decimalen komen op assessments vooral voor als vervanging van een breuk. Of omdat het antwoord een kommagetal is. Het is dan ook belangrijk om goed af te ronden bij het gebruik van decimalen.

Afronden

Je kunt naar boven afronden en naar beneden afronden. Hierbij geldt dat getallen die eindigen op een 5 of hoger naar boven worden afgerond. Getallen die eindigen op een 4 of lager worden naar beneden afgerond. In onderstaande situaties moet telkens op twee cijfers achter de komma worden afgerond:

1. 0,558 = 0,56
2. 0,322 = 0,32
3. 0,3 = 0,30
4. 0,599 = 0,60

Decimalen en breuken

Sommige decimalen kun je opschrijven als een breuk. Alle breuken kun je opschrijven als een kommagetal. Enkele veel voorkomende decimalen en breuken zijn:

1/2=0,5
1/3=0,33
2/3=0,67
1/4=0,25
3/4=0,75
1/5=0,2
1/6=0,17
1/7=0,14
1/8=0,125
1/9=0,11

Oefenopgaven

23. Herschrijf de volgende breuken naar een getal met twee decimalen, gebruik van rekenmachine is toegestaan:

Decimalen optellen en aftrekken

Decimalen optellen en aftrekken werkt hetzelfde als normaal optellen en aftrekken. Je moet er alleen rekening mee houden dat je evenveel getallen achter de komma houdt. Dit kun je doen door nullen in te beelden, bijvoorbeeld:

1,5 + 1,56 = 1,50 + 1,56 = 3,06

Nog een voorbeeld voor aftrekken:

1,89 – 1,0002 = 1,8900 – 1,0002 = 0,8898

Je kunt bij beide situaties dus ook de geleerde technieken gebruiken voor snel optellen en snel aftrekken.

Oefenopgaven:

24. Bereken:

25. Bereken:

Decimalen vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen met decimalen is makkelijker dan het lijkt. Je vermenigvuldigt de getallen alsof het getallen zonder komma zijn, telt het aantal getallen achter de komma in de vraag en zet de komma op dit punt bij het antwoord. Bijvoorbeeld:

0,5 x 0,5

5 x 5 = 25

Er staan twee getallen achter de komma, we plaatsen de komma twee getallen vanaf rechts, dus:

0,25

Nog een voorbeeld:

0,256 x 0,2

256 x 2 = 512

Er staan vier getallen achter de komma, dus:

0,0512

Oefenopgaven

26. Bereken:

Decimalen delen

Er zijn drie mogelijkheden bij het delen van decimalen:

1. Decimaal delen door getal
2. Getal delen door decimaal
3. Decimaal delen door decimaal

Decimaal delen door getal

Eerst bereken je de som alsof er geen kommagetallen zijn. Voor elk getal achter de komma schuift de komma één plaats naar links in het antwoord. Bijvoorbeeld:

Er is één getal achter de komma, dus:

2,1

Nog een voorbeeld:

Er is één getal achter de komma, dus:

0,42

Oefenopgaven

27. Bereken:

Getal delen door decimaal

Als je een getal deelt door een decimaal wordt de uitkomst niet kleiner maar juist groter. Voor elk getal achter de komma komt er een nul bij. Je werkt wel weer op dezelfde manier als zojuist, dus je doet alsof er geen komma’s zijn. Bijvoorbeeld:

Er is één getal achter de komma, dus:

50

Een andere, makkelijker, methode is door beide getallen met 10, 100 of 1000 te vermenigvuldigen:

14 ÷ 0,7
140 ÷ 7=20

Oefenopgaven

28. Bereken:

Decimaal delen door decimaal

Als je met twee decimalen te maken hebt, is de makkelijkste manier om te vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000.

Bijvoorbeeld:

0,12 ÷ 0,2
12 ÷ 20=0,6

Oefenopgaven

29. Bereken:

Het rekenen met procenten is (onbewust) een alledaagse bezigheid. Op assessments komen dan ook veel berekeningen voor met procenten.

Hieronder volgen de verschillende berekeningen met procenten.

Percentage A van B

De meest eenvoudige berekening is het berekenen hoeveel procent een deel van het geheel is:

Deel/Geheel×100=Percentage

Met een voorbeeld:

Vijf stukken pizza van de twaalf zijn met salami belegd. Hoeveel procent van de pizza is met salami belegd?

5/12×100=41,67%

Oefenopgaven

30. Bereken de percentages:

A is B procent, wat is totaal

Stel je weet dat je een bepaald percentage van iets hebt, wat is dan het totale aantal?

Aantal/Percentage×100=Totale Aantal

Met een voorbeeld:

Vijf knikkers zijn vijf procent van het totale aantal. Hoeveel knikkers zijn er in totaal?

5/5×100=100

Omdat delen en vermenigvuldigen dezelfde voorrang hebben in berekeningen kan bovenstaande ook in een keer. Herschrijf het percentage naar een decimaal en gebruik dit:

5/0,05=100

Uiteraard geldt hetzelfde als het eerste percentage groter is dan 100%. In dat geval kun je berekenen wat het oorspronkelijke aantal is.

Met een voorbeeld:

Tien knikkers zijn honderdtwintig procent. Hoeveel knikkers zijn honderd procent?

10/120×100=10/1,2=8,33

Oefenopgaven

31. Bereken wat 100% is, rond af op twee decimalen:

A is totaal, wat is B procent

Je weet het totale aantal en je wilt weten hoeveel een bepaald percentage is:

Totaal×Percentage/100=Aantal

Met een voorbeeld:

Er ziten twintig vissen in een kom, daarvan is tien procent zwart. Hoeveel vissen zijn zwart?

20×10/100=2

Door het percentage als decimaal te noteren kun je bovenstaande vereenvoudigen naar:

20×0,1=2

Oefenopgaven

32. Bereken de aantallen, rond af op twee decimalen:

Procentuele toe- / afname

Je wilt het nieuwe aantal weten nadat het toe- of afneemt met een bepaald percentage:

Aantal×((100+toe of afname)/100)=Nieuwe aantal

De toe- of afname verdient nog enige toelichting. In het geval van een toename tel je deze bij 100 op en deel je deze door honderd. In het geval van een afname trek je deze van 100 af en deel je dit door 100. Hierdoor krijg je dus een decimaal getal waarvoor geldt:

decimaal > 1 er is sprake van een toename.

decimaal = 1 er is noch een toename noch een afname.

0 < decimaal < 1 er is sprake van een afname.

Bovenstaande staat ook wel bekend als de groeifactor. Hiermee wordt verder gewerkt in exponentiële functies.

Toename met een voorbeeld:

Je hebt twintig knikkers, deze nemen met tien procent toe. Hoeveel knikkers heb je nu?

20×(100+10)/100=20×1,1=22

Afname met een voorbeeld:

Je hebt vijftig vissen, deze nemen met veertig procent af. Hoeveel vissen heb je nu?

50×(100-40)/100=50×0,6=30

Oefenopgaven

33. Bereken de nieuwe aantallen, rond af op twee decimalen:

Procentuele toe- / afname over tijd

Een veelvoorkomende variant op procentuele toe- en afnames vindt plaats over een periode. Daarbij is er duidelijk een nieuwe en oude situatie aan te wijzen. Hiervoor geldt:

((Nieuw–Oud))/Oud×100=Toe of afname in procenten

Voorbeeld: in 2010 waren er 100.000 marktkooplui in Nederland actief, in 2012 80.000. Met hoeveel nam het aantal marktkooplui procentueel toe of af in de periode 2010 – 2012?

Antwoord: Hier is het makkelijk vaststellen wat de nieuwe periode is, namelijk 2012. Dus wordt de berekening:

((80.000-100.000))/100.000×100=-20%

N.B.: Als er sprake is van grote getallen, kan het sneller zijn om nullen weg te strepen. Dit scheelt tijdens het uitrekenen veel tijd:

((80-100))/100×100=-20%

Oefenopgaven

34. Bereken de procentuele toenames voor de onderstaande tabel:

Een indexcijfer is een verhoudingsgetal waarbij de waarde wordt uitgedrukt ten opzichte van een andere periode. Die periode wordt het basisjaar genoemd. Het basisjaar is altijd 100 (100%). Een toename wordt weergegeven door een indexcijfer groter dan 100. Een afname wordt weergegeven door een indexcijfer kleiner dan 100. De formule voor indexcijfers is:

Nieuw / Basisjaar x 100 = Indexcijfer

Hieronder een voorbeeld:

GDP is in miljarden, het basisjaar is 2003.

In bovenstaand voorbeeld vallen een aantal dingen op:

1. Als het GDP hoger is dan het basisjaar is het groter dan 100.
2. Als het GDP lager is dan het basisjaar is het kleiner dan 100. Zie 2005.
3. Als het GDP daalt, bijvoorbeeld van 2010 naar 2011 wordt het indexcijfer niet kleiner dan 100.

Hieronder de berekeningen:

Oefenopgaven

35. Bereken de indexcijfers voor de onderstaande tabel, basisjaar is 1996:

36. Bereken de indexcijfers voor de onderstaande tabel, basisjaar is 1999:

Procentuele toe- / afname tussen jaren

Op assessments wordt vaak gevraagd wat de procentuele toe- of afname is van een bepaald jaar ten opzichte van een ander jaar.

In dit voorbeeld gaan we weer uit van de gegevens van de vorige tabel:

Wat is de toe- / afname van 2009 ten opzichte van 2008. Hierbij is het niet de bedoeling dat je 120 -107,5 = 12,5 als antwoord geeft. De juiste methode is de nieuw min oud methode:

((Nieuw–Oud))/Oud×100=Toe of afname in procenten

Dus:

((120-107,5))/107,5×100=11,63%

Er is dus een verschil van 12,5 – 11,63 = 0,87. Je kunt de eerste methode wel gebruiken als controle op je antwoord. Als het verschil beperkt is, zeg minder dan 1 à 2 procent, is je andere antwoord juist. De eerste methode kun je wel gebruiken om snel keuzemogelijkheden uit te sluiten.

Oefenopgaven

37. Bereken de procentuele toe- / afnames tussen de gestelde jaren voor onderstaande tabel:

Basisjaar verleggen

Een andere veelvoorkomende vraag is één waarbij het basisjaar moet worden verlegd. Bijvoorbeeld, het nieuwe basisjaar is 2005, wat is dan het indexcijfer van 2010. De formule om de nieuwe indexcijfers te berekenen is:

(Oud Indexcijfer)/(Nieuwe basisjaar)×100=Nieuw Indexcijfer

Hieronder de oude tabel met de nieuwe indexcijfers:

GDP is in miljarden, het nieuwe basisjaar is 2005.

Hieronder de berekeningen

Oefenopgaven

38. Bereken de nieuwe indexcijfers met het nieuwe basisjaar 2000:

Toenames in grafieken en tabellen zijn goed op te lossen door gebruik te maken van functies. Er zijn twee algemene functies waarmee de meeste problemen opgelost kunnen worden. Namelijk de lineaire en exponentiële functies.

Functies herkennen

Voordat je functies kunt opstellen, is het van belang dat je functies leert herkennen. De gegevens die je moet gebruiken staan meestal in een tabel. Ook als de gegevens niet in een tabel staan, gelden dezelfde principes.

Lineaire functies herkennen

Bij lineaire functies is er altijd dezelfde toename (of afname), in dit geval telkens +5.

Exponentiële functies herkennen

Bij exponentiële functies wordt er telkens met dezelfde groeifactor vermenigvuldigd. In dit geval is de groeifactor 2.

Lineaire Functies

Regelmatig zul je met verschillende lineaire functies moeten werken. Lineaire functies zijn functies waarbij de afhankelijk variabel Y altijd met een vast aantal toe- of afneemt. Een lineaire functie heeft de volgende vorm:

y=ax+b

x: de (onafhankelijke) variabele, de input. In een grafiek staat deze op de horizontale as.

y: de (afhankelijk) variabele, de output. In een grafiek staat deze op de verticale as.

a: de snelheid waarmee Y verandert ten opzichte van X. Dus de toe- of afname.

b: de beginhoeveelheid van Y, dus als X = 0.

Bovenstaande wordt makkelijker door het met een voorbeeld toe te lichten. Stel je hebt € 10 en krijgt elke maand € 5 erbij. Hoeveel heb je dan na 6 maanden? De meesten zullen dit zonder problemen kunnen berekenen, namelijk 10 + 5×6 = € 40.

Deze vraag kun je ook als functie opschrijven, dan heb je een formule waarmee je alle volgende berekeningen makkelijk(er) kunt oplossen:

y=5x+10 met a = 5 en b = 10.

In assessments wordt vaak gebruikgemaakt van vragen die je met een lineaire functie snel kunt oplossen. Bijvoorbeeld: elk jaar neemt het GDP met 1 miljard toe, het is nu 346 miljard.

Na hoeveel jaar is het GDP 500? Invullen in de functie geeft:

500=1x+346 met y = 500, a = 1 en b = 346.

Bovenstaande vergelijking kun je oplossen:

500=x+346
154=x

Dus na 154 jaar is het GDP gelijk aan 500.

N.B.: als alle cijfers dezelfde grootheid hebben, bijvoorbeeld miljard, kun je de nullen weglaten. Stel dat er zowel miljarden als miljoenen worden gebruikt, kun je ervoor kiezen een deel van de nullen weg te laten. Dus 1 miljard blijft dan 1, 100 miljoen wordt dan 0,1 (miljard).

Oefenopgaven

y = 10x + 14

39. Bereken y voor x, of x voor y:

Exponentiële Functies

Exponentiële functies komen evenens veel voor. Bij een exponentiële functie neemt de afhankelijke variabele Y altijd met een bepaalde groeifactor toe of af. Een lineaire functie heeft de volgende vorm:

N = bg^t

t: de (onafhankelijke) variabele, staat voor tijd. Normaliter heet dit X.

N: de (afhankelijke) variabele.

g: de groeifactor. Dus de toe- of afname per periode.

b: de beginhoeveelheid van Y, dus als t = 0.

N.B.: hoe kan het dat er een beginhoeveelheid is, terwijl t = 0? Bij machten geldt dat elk getal tot de nulde gelijk is aan 1. Als je dus Y = bg⁰ invult volgt hieruit: Y = b x 1 dus Y = b.

Groeifactor:

De groeifactor wordt als decimaal uitgedrukt. Vaak moet je dus een percentage omrekenen naar een decimaal getal.

Er geldt het volgende:

g > 1 er is sprake van een toename.

g = 1 er is noch een toename noch een afname.

0 < g < 1 er is sprake van een afname.

Hieronder een handige tabel:

Bovenstaande wordt makkelijker met het volgende voorbeeld. Stel je hebt € 23 en dat bedrag wordt elke maand verdubbeld. De groeifactor is de 2. Hoeveel geld heb je dan na 4 maanden? Eerst stel je de formule op:

N=23×2^t

Vervolgens vul je t=4 in:

N(4)=23×2⁴
N(4)=368

Oplossen van een exponentiële functie gaat op dezelfde wijze als een lineaire functie. Het wordt lastig als er opgelost moet worden voor t. Hieronder twee methoden om een exponentiële functie op te lossen. In de volgende paragraaf wordt behandeld hoe je met de Grafische Rekenmachine functies kunt oplossen.

Methode 1:

Door simpelweg de berekening te herhalen en te tellen hoe vaak je de berekening hebt uitgevoerd.

N=8×1,5^t

Na hoeveel jaar is N gelijk aan of groter dan 40?

Voer de functie berekening in op je rekenmachine, na de eerste keer berekenen krijg je 12. Vervolgens gebruik je de ANS functie en vermenigvuldigt die met 1,5. Door nu op ENTER te blijven drukken wordt de berekening telkens uitgevoerd. Na 5 herhalingen is N gelijk aan 60,75.

Methode 2:

Met het gebruik van logaritmen, de knop LOG op de rekenmachine. De basis functie kun je met behulp van logaritmen voor b oplossen:

a^b=c
b=log⁡c ÷ log⁡a

Bovenstaande wordt duidelijk met een voorbeeld.

N=12×1,8^t

Na hoeveel jaar is N gelijk aan 500?

500=12×1,8^t
41,67=1,8^t
t=log⁡41,67 ÷ log⁡1,8
t=6,35

Oefenopgaven

N = 23 x 1,6^t

40. Bereken N voor t, of t voor N, rond af op één decimaal indien nodig:

Functies oplossen met Grafische Rekenmachine

Veel assessments kun je thuis maken vanachter je computer. Dus kun je daarbij gebruikmaken van een Grafische Rekenmachine. Sommige assessments zijn op locatie, wees er zeker van dat je daar gebruik mag maken van een G.R.

Als je vergelijkingen op de G.R. wilt oplossen met een enkele variabele kun je dat makkelijk doen met de “y=” functie.

We nemen het volgende (lineaire) voorbeeld:

45,36 = 1,43 X – 12

Ga op de G.R. naar “y=”

Vul in:

Y1 = 1,43 X – 12

Y2 = 43,36

Nu zijn er twee mogelijkheden, of je gebruikt de tabel (TABLE) of je gebruikt de grafiek (GRAPH).

• Tabel

Klik op Table (2nd GRAPH) en zoek in de tabel de x-waarde op die 42,36 oplevert. Dit kan, afhankelijk van het aantal uitkomsten behoorlijk wat tijd in beslag nemen.

• Grafiek

Klik op Graph, klik vervolgens op Calc (2nd TRACE) en selecteer Intersect. Selecteer beide lijnen en druk op enter. De G.R. zal nu de waarde van X geven waarvoor Y gelijk is aan 43,36.

N.B.: Indien niet beide lijnen zichtbaar zijn in beeld, klik dan op ZOOM en selecteer Zoomfit. Of pas de variabelen van je window aan. Hierbij dien je de minimale en maximale waarden van zowel x en y op te geven. De y-waarde is al gegeven, dus kies er één net boven 43,36. Bijvoorbeeld 44 of 50. De x-waarde is lastiger, ruim schatten levert op dat een maximale x-waarde van 100 voldoende moet zijn.

Bovenstaande geldt ook voor exponentiële functies.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.